Differenzengleichungen Und Diskrete Dynamische Systeme: Eine Einführung in Theorie Und Anwendungen

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Overview

Dieses Buch befa t sich mit der mathematischen Analyse von dynamischen Prozes- sen, deren zeitliche Entwicklung nicht kontinuierlich flie end, sondern in diskreten Zeit- schritten modelliert wird. In den Naturwissenschaften, den Ingenieurwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften wird häufig bei der Untersuchung dynamischer Vorgänge zunächst ein Modell in diskreter Zeit formuliert, also eine Differenzengleichung oder ein (zeit-) diskretes dynamisches System. Anschlie end wird dann gewöhnlich durch einen Grenzübergang, bei dem die Länge eines Zeitschritts gegen Null strebt, das diskrete Modell in eine oder mehrere Differentialgleichungen verwandelt. Dieses Vorgehen, das besonders in der Physik sehr erfolgreich ist mit Ausstrahlungen bis hin in die Sozialwis- senschaften, hat den gro en Vorteil, da sich dabei das hochentwickelte mathematische Instrumentarium der Differentialgleichungen und differenzierbaren dynamischen Syste- me anzapfen lä t. Ein Nachteil liegt jedoch darin, da für eine numerische Auswertung des Modells zum Zwecke der empirischen Überprüfung, das kontinuierliche Modell wie- der in ein diskretes Modell zurückverwandelt werden mu . Das scheint nicht nur ein Umweg zu sein, insbesondere angesichts eines zunehmenden Einsatzes von Computern, sondern birgt auch zusätzliche Probleme, da es trotz gewisser Analogien keine systemati- schen Übersetzungsregeln zwischen Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt, vor allem nicht, wenn nichtlineare Vorgänge im Spiel sind. Auch aus diesem Grund bildet sich mehr und mehr eine Tendenz heraus, das erstellte diskrete Modell direkt mit Methoden der Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systeme zu untersu- chen; dieses Vorgehen ist etwa in der Biologie und derÖkonomie seit jeher gebräuchlicher als z. B. in der Physik.